Hallo,
ich muss euch noch einmal mit einem grundsätzlichen mathematischen Problem belästigen. Also: Ich versuche nun, diese Koordinaten ein wenig in den Griff zu kriegen. So ganz langsam lichten sich die Nebel. Die Schwierigkeiten liegen wohl weniger in der Materie an sich, als in der Art, wie die Leute das Thema angehen. Durchweg Theorie pur, als ginge das nur Insider (=Mathestudenten) etwas an. Ok, weil mir die Koordinaten sehr wichtig erscheinen (Kollision), muss ich da wohl durch.

Klar ist mir inzwischen, dass die Koordinaten sich auf zwei oder mehrere Punkte beziehen. Klar ist, dass die Punkte mit verschiedenen Gewichtungen in die Koeffizienten eingehen. Per Definition soll dann ferner die Summe dieser Koeffizienten 1 sein. An anderer Stelle liest man aber wieder Sätze wie "wenn die Summe der baryzentrischen Koordinaten nicht = 1 ist, liegt der Punkt ..." Ich dachte, man könnte nur dann von baryzentrischen Koordinaten sprechen, wenn die Summe 1 ist. Irgendwie schwimmt alles.

Das zweite ist eine Bitte. Baryzentrische in kartesische Koordinaten umzurechnen, ist ja wohl einfach. Doch umgekehrt. Kann mir jemand eine Quelle nennen, wo das (verständlich) erklärt wird?

u_0(t) = (t_1 - x) / (t_1 - t_0)
u_1(t) = (x - t_0) / (t_1 - t_0)

Die baryzentrischen Koordinaten sind eine Skalierung eines Intervalls auf [0,1].
Im Anhang eine Grafik dazu.

Wenn die Koordinaten in der Summe grösser 1 ist liegt der Punkt nicht mehr auf der Geraden durch t_0 und t_1

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Steppity,✲steppity,✴step,❆step,✳step!
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Die Umrechnung eines Punktes in baryzentrische Koordinaten ist auf der folgenden Seite gut beschrieben:
http://www.blackpawn.com/texts/pointinpoly/default.html

Der entscheidene "Trick" ist, die Vektorgleichung durch Anwendung des Skalarproduktes in zwei normale Gleichungen umzuwandeln.

Wie bereits erwähnt, kann man damit schnell prüfen, ob ein Punkt in einem Dreieck liegt. Falls er sich außerhalb befindet, bestimmen die Vorzeichen der Koordinaten wo der Abstand zum Dreieck am kleinsten ist.

u>0,v>0,w>0: im Dreieck
u>0,v>0,w<0: auf Kante AB
u>0,v<0,w>0: auf Kante CA
u>0,v<0,w<0: beim Punkt A
u<0,v>0,w>0: auf Kante BC
u<0,v>0,w<0: beim Punkt B
u<0,v<0,w>0: beim Punkt C

Danke, die Seite liest sich wirklich gut. Auf die baryzentrischen Koordinaten bin ich gestoßen, als ich einen Beitrag zur ray-triangle intersection las. Die scheinen ja eine große Rolle bei der Kollsionserkennung zu spielen.

Gibt es noch eine andere Anwendung für diese Koordinaten? Ich meine, nicht in der Astronomie, sondern in der 3D-Grafikprogrammierung?

Und wenn ich drei Bezugspunkte nehme und die Summe ist ungleich 1, kann ich deinen Satz dann so erweitern, dass der Punkt nicht mehr auf der Ebene liegt? Das wäre ja die logische Übertragung in die nächste Dimension.

Pardon, das ist natürlich Quatsch, was ich da geschrieben habe. Wenn ich einDreieck flach auf den Boden lege, dann ist y immer Null und bleibt Null, wenn ich die Koeffizienten verändere, auch in der Summe über 1 hinaus.