Für eine verfeinerte Kollisionserkennung muss ich erst mal folgendes Teilproblem lösen: Gesucht ist eine Ebene, auf der die beiden Punkte A und B liegen. Um die Ebene genau zu bestimmen, gebrauche ich also einen dritten Punkt oder die Normale. Die Strecke AB ist so etwas wie eine Drehachse.

Zusätzlich habe ich einen außerhalb liegenden Punkt P mit einem Richtungsvektor V, also einen Strahl. Nun geht es darum, die Ebene so zu drehen, dass die Länge des Vektors V ein Minimum hat. Die Ebenennormale kann nicht ohne weiteres aus V hergeleitet werden, weil der Strahl nur im Ausnahmefall senkrecht auf die Ebene treffen kann. Auch geht der Strahl im Normalfall an der Achse AB vorbei. Im Bild ist die unendliche Ebene durch das graue Viereck angedeutet.



Die Situation dürfte eindeutig sein, und die Informationen müssten reichen, um die Ebene vollständig beschreiben zu können. Nur, wie stellt man das an?


edit Lossy: Ins Mathematik-Forum verschoben

Ich bin ja nicht soo ein Mathegenie (und vielleicht habe ich die Aufgabendtellung missverstanden) aber v^ ist dann am kleinsten (nämlich null), wenn P e E ist.

Zur Ebenengleichung: E=B^+a*(BA)^+b*(BP)^ Die gibt allerdings nur dann Sinn, wenn (BA)^ und (BP)^ nicht kollinear sind (P nicht auf Gerade B^+a*(AB)^ für diesen Fall gibt es dann unendlich viele Lösungen für E.

alle Variablen mit ^ hinten sind Vektoren, Grossbuchstaben beschreiben Punkte oder Ebenen, Kleinbuchstaben sind Skalare.

Oder meinst Du vielleicht, E ist keine Ebene (also keine unendliche Ausdehnung)?

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Manchmal sehen Dinge, die wie Dinge aussehen wollen, mehr wie Dinge aus, als Dinge.
<Esmerelda Wetterwax>
Es kann vorkommen, dass die Nachkommen trotz Abkommen mit ihrem Einkommen nicht auskommen und umkommen.

Ah, doch nach Mathe verschoben. Ich war mir nicht sicher, ob hier genügend Leute reinschaun.

Im Grunde habe ich Deinen Vorschlag aus dem anderen Thread aufgegriffen, und nun versuche ich, die Sache auf dieser Basis aufzubauen. Trivial ist es keinesfalls, an dem Problem haben sich schon Leute wie Kasper Kaulerby und John Nette den Kopf zerbrochen. Doch deren Lösungsvorschläge haben noch Macken, wie sie auch selbst eingestehen.

Zur Sache. Es ist verdammt schwierig, die Situation richtig zu beschreiben. Also etwas vereinfacht: Stell die Achse AB mal lotrecht hin, Richtung (0, 1, 0). Es gibt unendlich viele Ebenen, auf denen AB liegt, sie entstehen durch Drehung eben um diese senkrechte Achse, so, als wenn man einen Bierdeckel an die Achse klebte und das Ganze in Drehung versetzte (ich hab' schon wieder Durst, muss gleich erst mal ein Bier trinken). Natürlich veranschaulicht der Bierdeckel eine unendliche Ebene, eben eine Ebene.

Nun der Punkt P, der fest außerhalb positioniert ist und irgendwohin zeigt, zunächst mal waagerecht (y = 0). Bei zwei Stellungen der rotierenden Ebene kommt der Punkt auf der Ebenen zu liegen, aber es geht darum, den Bierdeckel so zu drehen, dass der vom Punkt ausgehende Vektor senkrecht auf die Ebene zeigt, was natürlich nicht heißt, dass die Achse AB getroffen wird. In diesem Fall ist es klar. Weil der Vektor waagerecht verläuft, könnte ich ihn umdrehen und als Normale der Ebene verwenden. Das Problem wäre gelöst.

Doch der Vektor kann auch schräg nach unten oder oben zeigen. Dann ist nichts mehr mit Senkrechte, doch die gesuchte Ausrichtung der Ebene ist dieselbe als wenn der Vektor waagerecht läge. Irgendetwas ist dann immer noch rechtwinklig. Was ich oben mit "kürzestem Abstand" beschrieben habe, ist wohl Unsinn. Nun ja, und wenn diese Stellung gefunden ist, müsste es auch möglich sein, die Normale zu finden.

Tja, und dann geht es um die Verallgemeinerung, denn die Achse AB kann ja irgendwie und irgendwo im Raum liegen.
So, jetzt gehe ich in den Keller und hol' mir was. Aufrechten Ganges (0, 1, 0), versteht sich. Hoffe, dass dieser Vektor stabil bleibt.

Nach der ersten Flasche fällt mir noch was ein, nur so ein Gedanke. Wenn ich die Strecke AB als Vektor nehme und an P ansetze, dann habe ich, von P ausgehend, zwei Vektoren, und es müsste sich damit eine weitere Ebene konstruieren lassen, die den Bierdeckel rechtwinklig schneiden muss. Hm, für heute genug.

Kreuzprodukt von Strahl und A-B ergibt den gesuchten dritten Vektor der die Ebene aufspannt.

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Klar doch. Manchmal "verklebt" man sich förmlich in seinen Gedanken und ist regelrecht blockiert. Danke.