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 Betreff des Beitrags: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 16:09 
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Registriert: Di Apr 29, 2008 18:56
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Hey,

ich steh kurz vor meiner letzten Prüfung und ich scheitere gerade an einer Übungsaufgabe. Eh ich mich deswegen in einem Matheforum registriere frag ich erstmal hier. Ich hab im Netz ein Topic von Coolcat zu dem gleichen Thema gefunden, vlt kann er mir da am ehesten helfen^^
Die Aufgabe ist folgende:
Bestimmen Sie die beste Approximation im quadratischen Mittel (w(x) = 1) für f(x) = x3 durch eine Gerade in [0; 1].
Ich hab schon haufen Seiten im Netz durchsucht, find aber nix was mir weiterhilft. Ich find immer nur was zu Fourier-Reihen, und die haben damit nix zu tun (oder irre ich mich da). Ich brauch eig nur mal ne Art Crashkurs, wie man die Aufgabe löst. Oder den Namen eines Verfahrens, mit dem man sowas löst. Wäre super, wenn Ihr mir da helfen könnt.

MfG & Thx Bergmann.

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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 17:21 
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Registriert: Di Jul 29, 2003 00:11
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Hm, eine Möglichkeit, eine Funktion zu approximieren, wären Tailorreihen.
Schau mal hier:
http://www.f4.fhtw-berlin.de/~barthel/v ... points.pdf
die Folie 14.
f(x) wird approximiert durch f^(x)

Aber in dem Zusammenhang habe ich noch nie was von einem "quadratischen Mittel" gehört. :/ Ist das vielleicht der akzeptierte Fehler, ab der die Approximation ok ist?


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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 17:41 
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Registriert: Mi Jan 31, 2007 18:32
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Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, müsstest du eine Gerade g(x) = m * x + b bestimmen, wobei das Integral über [g(x) -f(x)]² von 0 bis 1 muss minimal sein soll.
Wofür "w(x) = 1" steht ist mir jedoch gerade nicht bewusst.

Zitat:
Hm, eine Möglichkeit, eine Funktion zu approximieren, wären Tailorreihen.

Da die explizip gefordert ist durch eine Gerade zu approximieren denke ich nicht das Tailor hier weiter hilft

"quadratischem mittel" beschreibt nur eine bestimmt Summenbildung wie z.B arithmetisches mittel. Hier sollte es sich logischerweise um eine Aufsummierung des Fehlers handeln.

mfg Frenk


Zuletzt geändert von FrenK am Fr Jul 06, 2012 17:50, insgesamt 1-mal geändert.

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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 17:46 
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Registriert: Di Apr 29, 2008 18:56
Beiträge: 1213
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@Philip: die Tailorreihen kenne ich, aber die haben ja nix mit dem "quadratischen Mittel" zu tun :/
@Frenk: Den Ansatz hab ich schon verfolgt, aber dann bekomm ich die Funktion d (Abstand) in Abhängigkeit von m und b. Wenn ich die dann partiell Differenzieren will, bläht sich das Ding zu ner mega Formel auf, das kahm mir auch irgendwie spanisch vor...

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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 17:47 
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schau dir mal das an:

http://www.ipvs.uni-stuttgart.de/abteil ... itel_2.pdf

insbesondere abschnitt 2.3.

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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 18:08 
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Vll hilft das hier . Das mit der Ausgleichsgeraden sieht mir stark nach der Aufgabe aus.


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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 19:36 
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Registriert: Do Dez 29, 2005 12:28
Beiträge: 2249
Wohnort: Düsseldorf
Programmiersprache: C++, C#, Java
Also ich vermute mal mit "ein Topic von Coolcat" ist dieses hier bei Infostudium gemeint. Omg...ich weiß doch jetzt nicht mehr was ich da damals gemacht habe....das ist fast 6 Jahre her.

Naja gut...also in meinem Fall ging es da um eine endliche Anzahl von Messpunkten. Du sollst hier aber das Intervall [0...1] betrachten, daher geht der übliche Ansatz über ein LGS und Pseudoinverse schon mal nicht.

Also ich würde mal versuchen das so zu formulieren:
Dateianhang:
139ccf17a870b03366dcd5090882.gif
139ccf17a870b03366dcd5090882.gif [ 1.6 KiB | 12469-mal betrachtet ]

davon das Integral über x von 0 bis 1. Dann minimieren. Aber da du zwei Variablen hast (a und b) ist das nicht leicht.

Das mit dem w(x) = 1 sagt mir übrigens auch nichts. Ggf. der entscheidende Hinweis für diese Aufgabe, macht aber wahrscheinlich nur Sinn wenn man die Notation der Vorlesung dazu kennt ;)

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Yeah! :mrgreen:


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 Betreff des Beitrags: Re: Approximation im quadratischen
BeitragVerfasst: Fr Jul 06, 2012 19:46 
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Beiträge: 1213
Programmiersprache: Delphi/FPC
Hey,

ich hab's hinbekommen. Der Ansatz die beiden Funktionen von einander zu Subtrahieren und dann zu Integrieren war fast richtig. Man nimmt die Norm von g-f und quadriert diese. Dann ergibt sich folgendes: d²(a, b) = (g, g) - 2(f, g) + (f, f) mit (x, x) = Skalarprodukt. Dann berechnet man die partiellen Ableitungen von a und b und setzt diese 0. Damit ergibt sich ein Gleichungssystem das man ohne Probleme lösen kann. Die Lösung ist f(x) = (9/10)x - (1/5).
Die Lösung die in der Übung vorgegeben wurde sieht etwas anderes aus, aber es ist die selbe (0.25 + 0.45*(2x-1)).

@Coolcat: Ja genau das meinte ich (hab den Link nich mehr gefunden). Auf das Datum hab ich da gar nich geguckt^^ Bei der Vorlesung war ich leider nicht anwesend, das war deshalb auch die einzige Aufgabe die ich nicht richtig lösen konnte. Aber wir habens ja geschaft :)

Die verlinkten Scripte haben mir sehr gut geholfen. Dankeschön :)

MfG Bergmann.

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