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BeitragVerfasst: Mo Aug 22, 2011 13:35 
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DGL Member

Registriert: Do Jul 15, 2010 14:41
Beiträge: 5
Hallo Leute,

ich habe die folgende Problestellung. Ich habe eine Lichtstrahl, der entlang der x-Achse verläuft. Auf seinem Weg wird er dabei zwischen x0 und x1 geschwächt. Seine Anfangsintensität i( x0 ) =: i0 ist bekannt. Gesucht ist seine schlussendliche Intensität i( x1 ). Die Schwächung des Lichtstrahls ist gegeben als a( x ) ('a' wie 'Absorption'). Dabei bedeutet a( x ) = 0, dass die Intenstiät an der Stelle x überhaupt nicht verringert wird, hingegen bedeutet a( x ) = 1, dass der Lichtstrahl vollständig absorbiert wird, so als treffe er auf eine Wand. Dabei ist a( x ) stets eine Gerade, die zwischen a( x0 ) =: a0 und a( x1 ) =: a1 verläuft.

Lösungsidee: Einfach mal frech behauptet, dass die Änderung der Intensität durch folgende Gleichung beschrieben werden kann.

i'( x ) = i( x ) * ( 1 - a( x ) )

Dies führt einen zu der Lösung:

i( x ) = i0 * exp( -( 0.5 * a'(x)^2 + a( x0 ) * x )

Problem: Mit dieser Lösung bin ich aber sehr unglücklich, wie das folgende Beispiel zeigt, in dem wir quasi eine massive Wand beschreiben: a0 = a1 = 1, x0 = 0 und x1 = 0.01. Mit i0 = 1 folgt damit direkt:

i( x1 ) = exp( -0.01 ) = ~0.99

Das eigentlich zu modellierende Verhalten wird also überhaupt nicht abgebildet, die Intensität ist viel zu hoch.

Hat jemand eine bessere Idee, wie man dem Problem begegnen könnte?

Vielen Dank im Voraus


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BeitragVerfasst: Di Aug 23, 2011 13:49 
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DGL Member
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Registriert: Do Sep 02, 2004 19:42
Beiträge: 4158
Programmiersprache: FreePascal, C++
Mmja, das klappt rein logisch nicht: Wenn a(x) = 1 ist, dann ist i'(x) nach deiner Gleichung 0, also keine Änderung.

Das hilft aber noch nicht. Irgendwie schwirrt mir Integration im Kopf rum und einen Moment hatte ich das Gefühl, die Lösung direkt vor Augen zu haben… war aber dann doch nicht. Wobei… Das könnte klappen:

Bestimmen wir doch mal die Abschwächung A, die der Strahl bis zum Punkt x erfahren hat:
(jetzt wüschnte ich wir hätten TeX im Forum… ∫_a^b dx f(x) := bestimmte Integration nach x von a bis b über f(x))
A(x)=∫_0^x dy a(y)
Das müsste man nun ohne Probleme für die Intensität an der Stelle x nehmen können:
I(x)=I(x0)*(1-A(x))

Jetzt kannst du für a(x) noch die Geradenform einsetzen (aus a0, a1, x0 und x1) und das Integral komplett lösen.

greetings

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BeitragVerfasst: Di Aug 23, 2011 20:16 
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DGL Member

Registriert: Fr Okt 03, 2008 13:32
Beiträge: 367
Wenn die Absorbtion durch sowas wie ein halbtransparentes Gas oder eine Staubwolke simuliert werden soll, brauchst du auch eine Länge auf die sich der Transparenzwert bezieht.
Also wenn z.B. nach 1 Längeneinheit ein Anteil von "a" des Lichts absorbiert werden soll, wäre die Formel so:

f(x) = (1-a)^x

f(x) ist der Faktor mit dem man die anfängliche Lichtintensität multiplizeren muss.
x ist der Weg der durch den absorbierenden Bereich zurückgelegt wird.

Die Überlegung ist eigentlich ganz einfach: Wenn a=0.5 dann wäre nach 1 Längeneinheit nur noch die Hälfte der anfänglichen Intensität vorhanden. Nach 2 Einheiten dann nur noch ein Viertel da von der Hälfte wieder die Hälfte absorbiert wird. Wenn x = 0 ist das Ergebnis immer 1.
Problematisch wird es nur wenn a=1, da 0^0 eigentlich nicht definiert ist. Außerdem sollte x natürlich immer x>=0 sein.

Das ganze bezieht sich natürlich auf eine homogene Absorbtion. Wenn sich die Absorbtionrate auf dem Weg ändert, muss man sich wohl doch mit Integralen rumschlagen.


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BeitragVerfasst: Di Aug 23, 2011 20:38 
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DGL Member

Registriert: Do Jul 15, 2010 14:41
Beiträge: 5
Hey ihr Beiden,

vielen Dank für die Hilfe, das mit i( x ) = ( 1 - a )^x ist eine wunderbare Idee!

Eine Frage habe ich aber noch an dich, Schläfer: Was meinst du mit einer sich ändernden Absorptionsrate? Kann es sein, dass du Samplingrate meinst?

edit: Achso, wenn sich a verändert... logisch.


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BeitragVerfasst: Mi Aug 31, 2011 16:10 
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DGL Member

Registriert: Mo Aug 31, 2009 13:19
Beiträge: 151
Die Frage ist jetzt zwar schon was älter, aber womöglich liest du es noch - das Stichwort zur Absortion elektromagnetischer Strahlung in Materie heißt "Lambert-Beer'sches Gesetz"


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